【基本・応用情報技術者】論理式の公式 - たろすのプログラミング教室

こんにちは。たろすです。

今回は論理演算の公式について説明します。

論理式
論理式の公式
例題
- 問題
- 答え
おわりに
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論理式

論理式とは以下のようなもの指します。

$(A+B) \cdot C+A \cdot B+\overline{C}$

・は「かつ」、+は「または」、上線は「否定」を表します。

「かつ」に $\land$ 、「または」に $\lor$ 、「否定」に $\lnot$ を使うこともあります。

また、排他的論理和（AかBのどちらか一方のみが真のときは真になる）には $\oplus$ を使うので覚えておきましょう。

論理式の公式

論理式の公式には以下のようなものがあります。

恒等則	$A \cdot 0=0$ $A \cdot 1=A$ $A+0=A$ $A+1=1$
同一則	$A \cdot A=A$ $A+A=A$
交換則	$A \cdot B=B \cdot A$ $A+B=B+A$
結合則	$A \cdot (B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C$ $A+(B+C)=(A+B)+C$
分配則	$A \cdot (B+C)=A \cdot B+A \cdot C$ $A+(B \cdot C)=(A+B) \cdot (A+C)$
吸収則	$A \cdot (A+B)=A$ $A+(A \cdot B)=A$ $A \cdot (\overline{A}+B)=A・B$ $A+(\overline{A} \cdot B)=A+B$
矛盾則	$A \cdot \overline{A}=0$
排中則	$A+\overline{A}=1$
二重否定	$\overline{\overline{A}}=A$
ド・モルガンの法則	$\overline{A \cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$ $\overline{A+B}=\overline{A} \cdot \overline{B}$

特にド・モルガンの法則はよく問われるので必ず覚えておきましょう。

例題

問題

$(A+B) \cdot C+\overline{A \cdot C} \cdot A$ を $A+B \cdot C$ に変形せよ。

答え

$\begin{eqnarray} (A+B) \cdot C+\overline{A \cdot C} \cdot A &=& A \cdot C+B \cdot C+\overline{A \cdot C} \cdot A \\ &=& A \cdot C+B \cdot C+(\overline{A}+\overline{C}) \cdot A \\ &=& A \cdot C+B \cdot C+A \cdot \overline{A}+A \cdot \overline{C} \\ &=& A \cdot C+B \cdot C+0+A \cdot \overline{C} \\ &=& A \cdot C+B \cdot C+A \cdot \overline{C} \\ &=& A \cdot (C+ \overline{C})+B \cdot C \\ &=& A \cdot 1+B \cdot C \\ &=& A+B \cdot C \\ \end{eqnarray}$